Egy érdekes geometriai transzformáció: geometriai inverzió (körre vonatkozó tükrözés)
Az általános- és középiskolás matematika oktatásában jelentős teret kapnak a geometriai transzformációk. A hasonlóság tanításáig a tanulók többségénél a különösebb érdeklődés nélküli, beletörődő elfogadás tapasztalható a tárgyalt anyaggal kapcsolatosan. Ha meglepetéseket akarunk okozni, akkor érdemes nem egyenestartó transzformációkat is vizsgálni. Egy ilyen lehet a geometriai inverzió is. A következőkban ennek tanításáról szeretnénk szólni.
A definíció megadása még nem szokott frenetikus hatást kelteni. Ezután viszont már a gyerekek következnek. A tizedik osztály végére, a normál tantervű osztályban tanulók is rendelkezhetnek annyi ismerettel, hogy az itt következő vizsgálatokat el tudják végezni.
Először meg kell nézetni, hogy valóban geometria transzformációt adtunk meg, azaz hogy a megadott hozzárendelés függvény, majd rátérhetünk az alaptulajdonságok vizsgálatára megmutathatjuk, hogy a geometriai inverzió
- szimmetrikus geometriai transzformáció
- értékkészlete a pólustól megfosztott sík
- kölcsönösen egyértelmű
- fixpontjai az alapkör pontjai
- invariáns egyenesei póluson átmenő egyenesek (a pólus kivételével)
Az is könnyen igazolható, hogy az alapkör belső pontjainak külső pontok felelnek meg és fordítva.
Ezek után a befogótétel felhasználásával tetszőleges pont inverzét is meg tudják szerkeszteni a tanulók (lásd 1. ábra).
1. ábra
A póluson átmenő egyenes képvel már foglalkoztunk, ideje, hogy a póluson át nem menő egyenesek képeit is megvizsgáljuk. Ez történhet a következőképpen is:
1. Először az alapkört érintő egyenes képét keressük meg. (A befogótétel itt is segítségünkre lehet.)
2. Megmutatjuk, hogy az azonos pólusú inverziók egy adott ponthalmaznak
a pólusra vonatkozóan középpontosan hasonló ponthalmazokat feleltetnek meg.
Így kaphatjuk, hogy a póluson át nem menö egyenesek képei a póluson át nem menő, a pólustól megfosztott körök. (Pontosabban a pólus és a pólus egyenesre eső merőleges vetületének képe által meghatározott szakasz Thálész köre.)
Gondolatmenetünket folytathatjuk úgy, hogy a körök képeinek vizsgálatát kezdjük el. Itt az alábbi módon is haladhatunk tovább:
1. Vizsgáljuk az alapkör egy sugarának pólustól megfosztott Thálész körét! A korábbiakhoz hasonlóan adódik, hogy annak képe a sugár alapkörön lévő pontjában az alapkört érintő egyenes.
2. Az előző rész 2. pontjában említett tétel segítségével kaphatjuk, hogy a póluson átmenő pólustól megfosztott körök képe egyenes. (Pontosabban a a pólus és a pólus egyenesre eső merőleges vetületének képe által meghatározott szakaszra, a pólustól különböző végpontjában bocsátott merőleges.
3. Felvethető kérdés az, hogy az alapkörön kívül vannak-e a geometriai inverziónak invariáns körei. A körhöz húzott szelő szeleteinek szorzatára vonatkozó tétel segítségével bebizonyítható, hogy az alapkört merőlegesen metsző körök rendelkeznek csak ilyen tulajdonsággal.
4. Végezetül meg lehet mutatni, hogy a póluson át nem menő körök képei a poluson át nem menő körök lesznek. (Ha a gyerekek unják már a sok bizonyítást, akkor ezt az állítást bizonyítás nélkül is közölhetjük.)
Ezek után sok szerkesztést érdemes elvégeztetni a gyerekekkel, és így rá lehet vezetni őket a következő sejtések megfogalmazására:
1. Ha egy egyenes és egy kör (vagy két kör) érintik egymást, ekkor képeik az érintési pont képében érintik egymást.
2. Ha két ponthalmaz mindegyike kör vagy egyenes, és a pólustól különböző pontban metszik egymást, akkor hajlásszögük egyenlő a képeik hajlásszögével.
A különösen érdeklődő tanulók elbíbelődhetnek e sejtések bizonyításával.
Úgy gondoljuk, hogy ennyi az az ismeretanyag, ami szükséges ahhoz, hogy tanulóink sikeresen tudják használni a geometriai inverziót feledatok megoldására. 2000. szeptember 25-én egy kis feladatgyűjtemény fog megjelenni a Feladat alrovatban, ami ilyen módszerrel is megoldható problémákat tartalmaz.
Végezetül még megemlítjük, hogy a nevezetes Feuerbach tételnek is létezik geometriai inverziós bizonyítása, talán ez is tárgyalható érdeklődőbb osztályokban.
A cikkben szereplő fogalmak:
Geometriai transzformáció: Olyan függvény, aminek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.
Egyenestartó transzformáció: olyan geometriai transzformáció, amelynél bármely egyenes képe egyenes.
Geometriai inverzió: Olyan geometriai transzformáció, ami egy O (pólus) középpontú, r sugarú kör (alapkör) segítségével adható meg a következő módon: A pólustól megfosztott sík tetszés szerinti P pontjához azt a P' pontot rendeljük, melyre igaz, hogy
a, P' rajt van az OP félegyenesen
b, az OP és OP' szakaszok szorzata az r négyzetével (az inverzió hatványa) egyenlő.
Szimmetrikus geometriai transzformáció: Olyan geometriai transzformáció, amelyre igaz, hogy bármely pont képének a képe önmaga. (Természetesen ez feltételezi azt is, hogy az értékkészlet részhalmaza az értelmezési tartománynak.)
Fixpont:: Az értelmezési tartomány olyan pontja, aminek képe önmaga.
Invariáns ponthalmaz: Olyan ponthalmaz, aminek a képe önmaga.
Befogótétel: Derékszögű háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének.
- Nem metsző körök esetében 0.
- Metsző körök esetében az egyik metszéspontban a körökhöz húzott érintők hajlászszöge.
- ha nincs közös pont, akkor 0
- ha van közös pont, akkor abban a körhöz húzott érintő és az egyenes hajlászszöge.